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  - 沪教版教参选择性必修第二册·第5章
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# 第 5 章 导数及其应用

> 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第二册]] · **第 5 章 导数及其应用**（原文件第 211–772 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

“导数是微积分的核心内容之一, 是现代数学的基本概念, 蕴含微积分的基本思想; 导数定量地刻画了函数的局部变化, 是研究函数性质的基本工具."①

初等数学可以对匀速运动进行描述分析, 也能够解决形状规则物体的度量问题. 但是, 对于变速运动的刻画、边界不规则图形的度量, 就需要借助新的数学工具—— 微积分. 导数作为微积分的重要内容, 为研究函数性质提供了便捷的途径, 被广泛应用于实际问题中的函数模型处理.

函数是微积分的研究对象, 也是学生从初中阶段就开始接触的学习内容, 更是高中数学课程的一条主线. 在必修课程的学习中, 学生已经熟悉了大部分基本初等函数, 并借助图像、代数运算等方法对其性质进行了初步的研究, 进而体会到了函数在解决实际问题中的作用. 导数的学习将使学生进一步感悟函数局部性质与整体性质的联系, 并掌握研究函数单调性、极值和最值的有力工具.

导数概念是依赖于极限思想建立起来的. 极限思想在之前圆、数列等知识的学习中有所渗透, 在本章的学习过程中需要通过现实情境、几何直观、数值逼近等方式进一步体会, 感悟极限思想在导数概念形成中的重要意义, 在解决变速运动等现实问题中的重要功能,从而形成对极限思想的朴素理解. 由于高中阶段不要求学生系统地学习极限和连续的严密化定义以及相关性质, 因此要获得更为深刻的领会, 特别是对于相关知识的严密化表述与论证, 将在后续选修课程或大学阶段的课程中完成.

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① 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [S]. 北京:人民教育出版社, 2020: 37.

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通过本章的学习, “可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念, 掌握导数的基本运算,运用导数研究函数的性质,并解决一些实际问题” ${}^{\text{①}}$ \____\_具体而言,需要帮助学生了解导数是关于瞬时变化率的数学表达,从直观上理解导数的几何意义,并借助求导运算研究一些函数的单调性、极值和最值, 进而体会导数在解决实际问题中的重要作用.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 9+1 ,共计 10 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="2">5.1 导数的概念及意义</td><td rowspan="2">2</td><td>导数的概念 1 课时</td></tr><tr><td>导数的几何意义 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">5.2 导数的运算</td><td rowspan="3">3</td><td>基本初等函数的导数 1 课时</td></tr><tr><td>导数的四则运算 1 课时</td></tr><tr><td>简单复合函数的导数 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="4">5.3 导数的应用</td><td rowspan="4">4</td><td>利用导数研究函数的单调性 1 课时</td></tr><tr><td>利用导数研究函数的极值 1 课时</td></tr><tr><td>利用导数研究函数的最值以及利用导数研究二次函数 1 课时</td></tr><tr><td>利用导数解决实际问题 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

与上海二期课改数学课程相比,导数为新增内容. 从国家课程标准来看,《普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)》对微积分内容的要求与 2003 年出版的《普通高中数学课程标准(实验)》相比,保留了文科学生和理工科学生均需修读的“导数及其应用”, 删去了理工科学生需要修读的“定积分与微积分基本定理”.

本章内容共分为三节,分别是 5.1 导数的概念及意义,5.2 导数的运算,5.3 导数的应用.

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① 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [S]. 北京:人民教育出版社, 2020: 39.

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“ 5.1 导数的概念及意义”通过两种情境帮助学生理解导数的概念. 一是瞬时速度, 揭示导数的物理意义; 二是切线的斜率, 揭示导数的几何意义. 首先借助对高铁运行过程中瞬时速度的讨论, 从导数的物理意义出发, 帮助学生感受导数学习的必要性. 同时在具体实例中, 借助信息技术工具呈现一系列具体数值, 帮助学生体会从平均速度向瞬时速度趋近的过程, 感悟极限思想在解决变速运动相关问题时的重要性. 随后, 从特殊到一般地抽象出某点处导数的极限定义. 在接下来关于导数几何意义的介绍中, 让学生经历从割线趋近于切线的过程, 在此基础上生成对一般曲线切线的定义, 进一步体会导数是平均变化率的极限. 然后借助熟悉的圆的切线问题, 帮助学生体会新的切线定义与以往定义的一致性, 同时在解决问题的过程中归纳出 “函数在某点处导数的几何意义是相应的曲线在该点处切线的斜率”, 进而获得求曲线在某点处切线方程的一般方法. 最后讨论切线水平的特殊情况, 顺势给出驻点的概念, 为后续函数极值的学习做铺垫.


“5.2 导数的运算”首先从函数某点处导数的概念过渡到导函数的概念, 然后借助导函数的极限定义求一些简单函数的导函数, 帮助学生初步体会求导公式的来源. 紧接着不加证明地给出一些常用求导公式, 并结合具体的求导问题帮助学生感受数学公式在简化运算方面的重要价值. 导数的四则运算法则在教材中也是直接给出的, 仅对积的求导公式进行了形式上的推导, 以帮助学生体会求导法则的来由, 以及为什么通常 ${\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) }^{\prime }$ 并不等于 ${f}^{\prime }\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right)$ . 最后,在介绍简单复合函数的求导法则时, 先通过实例引入 “复合函数” 的概念,再借助导函数的极限定义推出形如 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ 的简单复合函数的求导公式.

一旦有了基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则, 就可以对所有的初等函数进行求导运算. 限于高中课程的要求, 本节中并未给出反三角函数的求导公式以及一般复合函数的求导法则, 但是试图通过本节末尾所设置的探究与实践活动, 使学生对一般复合函数的求导法则有所了解, 并在探究过程中体会从具体到抽象, 从特殊到一般的数学思想.

整体而言, 本节的正文部分聚焦纯数学情境, 着力突出数学运算, 帮助学生掌握导数运算的公式与法则; 同时在习题部分设置了若干现实情境问题, 希望学生在掌握求导运算的基础上, 进一步体会导数的意义. 因为此时求函数在某点处的导数可以借助求导公式和求导法则, 不必再依赖于导数的极限定义, 所以问题中所涉及的函数与 5.1 节相比, 可以更为复杂一些.

“5.3 导数的应用”从利用导数研究函数的单调性开始, 进而研究函数的极值和最值, 最后通过呈现导数在实际问题中的应用, 帮助学生在巩固所学的同时, 初步体会微积分对人类文明的贡献. 由于在高中阶段现有知识的基础上, 无法提供相关定理的严格证明, 因此本节特别关注定理的发现与验证活动. 例如, 借助信息技术工具绘制函数的图像, 探究导数与函数单调性之间的关系, 一方面发现结论, 另一方面验证结论. 相关例习题中既有学生非常熟悉的函数, 也有相对陌生的函数. 前者旨在帮助学生体会:利用导数判断函数单调性所得的结果与之前学习过程中通过直观观察或借助不等式证明所得的结果一致; 后者旨在帮助学生体会利用导数判断函数单调性的方法具有更广泛的适用性.

本节中还设置了一个特别的学习内容, 即利用导数解决熟悉的二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题. 该内容既是对以往所学相关结论的回顾, 也是对本节所学新知识的应用. 一方面呼应本套教材必修第一册“ 2.2 不等式的求解”之“2.一元二次不等式的求解”、“5.2 函数的单调性”以及 “5.3 函数的应用”之“2. 用函数观点求解方程与不等式”,让学生再次从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式,深入理解函数、方程和不等式三者之间的关联, 体会数学的整体性; 另一方面帮助学生体会导数为研究函数的单调性与极值提供了简便而普适的方法, 在学习过程中发展数学抽象和逻辑推理素养.

在本节的末尾,教材提供了一篇阅读材料——“微积分简史”,通过列举微积分发展史上的重大事件, 为学生进一步了解微积分的发展历程及其重要价值提供了参考.

总体而言, 本章围绕实际问题展开, 尽可能借助信息技术工具从直观上帮助学生理解抽象的导数概念及相关定理. 知识的呈现过程也常常采用归纳发现的方式, 而不强调严格的演绎推理. 希望学生通过学习初步认识导数及其应用, 一方面了解数学所能处理的问题并不拘泥于匀速运动或规则图形, 另一方面对未来进一步学习微积分抱有渴望.

### 教学提示

本章内容是从解决实际问题的需要开始,引入导数的概念及其几何意义；接着以导数的极限概念为基础, 给出一些基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则; 随后以简单函数为载体, 呈现导数在研究函数性质中的作用, 最终回归到如何用导数解决实际问题.

为了揭示导数概念的内涵, “应通过丰富的实际背景和具体实例引入导数的概念, 例如斜率、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等, 应引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 了解导数是如何刻画瞬时变化率的, 感悟极限的思想; 应引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用, 体会导数的意义. 学生对导数概念的理解不可能一步到位, 导数概念的学习应该贯穿在一元函数导数及其应用学习的始终. 一般地, 在高中阶段研究与导数有关的问题中, 涉及的函数都是可导函数." ①

为了体现导数在研究函数性质方面的重要作用, 教学中应引导学生与之前函数学习过程中所采用的方法和所得到的结论进行比较, 进而体会导数工具的优越性. 需要注意的是, 学生掌握基本求导运算的主要目的是借助运算体会导数在研究函数时的作用. 教学中可以借助具体实例或代数运算在一定程度上揭示导数运算法则的合理性, 但不要求学生进行严格的证明, 也不要求处理较为复杂的求导运算问题.

为了感悟微积分创立过程, 以及微积分对数学发展的作用, “在教学中可以组织学生收集、阅读微积分创立与发展的历史资料,撰写小论文,论述微积分创立与发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献. ”②

虽然本教材在多处结合具体情境渗透了极限思想,让学生形成对极限的朴素理解, 但是并没有涉及极限、连续等概念的严格定义和相关理论, 因此不可能借助严密的演绎推理体系来帮助学生建立对导数的理解. 此时,应特别注意发挥信息技术工具的优势来设计教学:一方面可以借助信息技术工具在批量计算方面的优势,让学生观察当自变量无限趋近于某个定值时, 所对应的函数值的变化情况; 另一方面可以借助信息技术工具在绘图方面的优势, 让学生观察函数图像的变化情况, 从操作确认的层面接受“利用导数研究函数性质”的合理性.

### 评价建议

在知识与技能层面, 要求学生: 理解导数的概念及其几何意义; 记住并能利用常用的求导公式、导数的四则运算法则以及简单复合函数 (形如 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ ) 的求导法则, 求出简单初等函数的导数; 能利用导数研究函数的单调性、极值和最值并解决简单的实际问题. 由于本章多数内容的处理上不追求严格的定义和证明, 因此在评价过程中需要注意难度上的把握.

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① 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) [S]. 北京:人民教育出版社, 2020: 40.

② 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订)[S]. 北京:人民教育出版社, 2020: 40.

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在过程与方法层面, 要求学生: 通过具体情境, 直观理解导数概念, 感悟极限思想, 理解导数是一种借助极限的运算; 能够结合实例, 借助几何直观, 体会导数与函数的单调性、极值、最值的关系, 进而有意识地借助导数研究简单函数的性质, 并解决简单的实际问题. 由于理解导数概念、感悟极限思想不是一朝一夕能够实现的, 因此评价需要关注学生的学习进程. 例如, 借助信息技术工具从数值角度观察从平均变化率到瞬时变化率的无限趋近过程.

在能力与素养层面,希望通过本章的学习,发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学核心素养. 本章中设计的一些例习题和数学探究活动, 也为学生素养的评价提供了可能. 例如, 从导数运算与几何直观两个方面研究函数的切线, 可以反映学生的直观想象素养; 从特殊到一般地探究复合函数求导规律, 可以反映学生的合情推理能力; 辨析求导运算的正误, 可以反映学生的数学运算素养; 讨论含有字母系数的三次函数与一元三次方程问题, 可以反映学生的数学抽象素养; 利用导数研究某个变化过程的瞬时变化率, 解决何时利润最大、何时用料最省等实际问题, 可以反映学生的数学建模素养.

在情感态度价值观层面,希望学生感悟极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；通过收集并阅读微积分创立过程的相关资料,体会微积分对数学发展的作用; 发展好奇心和求知欲, 对未来进入大学学好微积分抱有渴望. 这部分的评价可以借助课堂观察、课外活动等形式来实现.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 5.1 导数的概念及意义

### 教学重点

通过实例分析, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达, 体会导数的内涵与思想, 体会极限思想.

通过函数图像直观理解导数的几何意义.

### 内容分析

本节内容围绕导数的概念展开, 包含导数的物理意义 (运动物体某时刻的瞬时速度) 和几何意义 (曲线某点处的切线斜率). 概念展开的主要方式是: 首先通过瞬时速度问题揭示导数概念形成过程中的极限思想; 然后借助平均变化率和瞬时变化率的比较, 给出导数的定义; 接着用同样的极限思想引入切线的定义, 说明函数在某点处的导数就是曲线在该点处的切线斜率; 最后通过水平切线的特例介绍驻点的概念.

导数是研究变化和变化中瞬时状态的一个核心概念, 也是学生接触高等数学的一个重要概念. 通过导数几何意义的学习, 既可以丰富学生对于切线概念的认识, 又可以将导数概念直观化, 为后续利用导数研究函数的单调性奠定基础. 而极限思想则始终渗透在本节内容的学习过程之中.

本节分为两个小节.

第 1 小节由瞬时速度的讨论引入 “函数 $y = f\left( x\right)$ 在 $x = {x}_{0}$ 处的导数”的概念.

高铁情境的引入是为了帮助学生感受导数学习的必要性. 由于在运动变化中需要刻画瞬时状态,因此运用了把时间段不断细分的极限思想.

例 1 分别从数值和解析式两个角度帮助学生理解时间段长度 $\left| h\right|$ 无限趋近于零的过程, 希望学生从观察一系列具体数值入手, 初步感受导数这一抽象概念的内涵.

例 2 提出了另一个实际问题, 希望学生了解导数所解决的不仅仅是瞬时速度问题, 而是一般意义下的瞬时变化率问题.

练习 5.1(1)的两个情境用于巩固关于平均变化率和瞬时变化率的理解,分别涉及二次函数和一次函数. 第 1 题中的瞬时变化率随时间的变化而变化, 第 2 题中的瞬时变化率则始终如一. 此类练习可以为学生后续理解导函数的概念做铺垫.

第 2 小节介绍 “函数 $y = f\left( x\right)$ 在 $x = {x}_{0}$ 处的导数”的几何意义.

在本套教材选择性必修第一册“第 2 章 圆锥曲线”的学习中, 出现过关于圆和椭圆切线的讨论, 但使用的是初中几何课程中的定义: 与圆 (椭圆) 只有一个公共点的直线是它的切线; 在学习抛物线时又通过例题帮助学生认识到: 该定义无法推广到包括双曲线和抛物线在内的一般曲线, 不具有一般性. 直到学习了本章中切线的一般定义, 学生才能获得对切线概念较为完整的认识.

本节类比瞬时速度给出了一般曲线切线的定义, 意在帮助学生完成对切线概念的再认识, 体会几何学中研究曲线的变化特性也需要极限思想.

例 3 以半圆上某点处的切线为例, 帮助学生感受“新”的切线定义与以往学习的圆的切线的定义是一致的. 需要注意的是, 此处涉及的函数比较复杂 (其求导运算超出了课程标准的要求), 因此仅借助信息技术工具, 帮助学生从数值变化上体会割线趋近于切线的过程.

相应地, 习题 5.1B 组第 2 题也不要求学生进行求导计算, 而是借助导数的几何意义, 通过之前已有的求圆的切线的知识来解决问题.

例 4 和例 5 是以简单的幂函数为例, 帮助学生体会如何借助导数求曲线在某点处的切线方程. 需要说明的是,在接下来学习了 5.2 节“导数的运算”以后,此处的求导过程就不必再从极限定义开始了. 此外, 例 5 中的切线是 “穿过”曲线的, 和学生已有的对于圆的切线的认识有所不同, 教师可以引导学生结合本节所介绍的切线定义进行理解.

练习 5.1(2)用来巩固关于导数几何意义的认识,其中第 2 题是为后续学习利用导数研究函数的性质做铺垫, 因此只需要通过图像进行观察, 而不要求对导数值进行计算. 习题 5.1 A 组第 7 题也是如此.

本节习题中还设置了一些求 $y = f\left( x\right)$ 在 $x = a$ 处的导数的问题,如习题 5.1 A 组的第 3 题. 这是为下一节学习中从 “函数 $y = f\left( x\right)$ 在 $x = {x}_{0}$ 处的导数”到 “函数 $y = \; f\left( x\right)$ 的导函数”的过渡做铺垫.

### 注意事项

本节的重点在于经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 体会导数的意义与极限思想, 通过函数图像直观地理解导数的几何意义. 应该注意避免在求导过程中出现复杂的极限运算. 因此, 本节例习题中, 凡是需要根据极限定义进行导数计算的函数, 都是简单的不超过三次的多项式函数, 教师在教学中也不宜拔高难度. 因为在接下来学习了 5.2 节“导数的运算”以后,函数的求导就可以借助公式与法则来进行了.

由于在高中阶段缺少严格的极限定义, 也不介绍极限的性质及四则运算法则, 因此教材中利用极限定义求导的过程总是先化简 $\frac{f\left( {{x}_{0} + h}\right)  - f\left( {x}_{0}\right) }{h}$ ,再令 $h$ 趋近于 0, 从而求出极限. 需要注意的是, 学生未来进入大学学习了极限的四则运算法则之后, 并不需要遵循这样的解题“规范”, 因此, 不建议在教学中强化这样的步骤意识, 只要做到“混而不错”即可.

此外,本节中出现了函数“驻点”的概念,需要说明的是驻点和今后要接触到的极值点、无定义的点等,都指代自变量的取值,即位于一维的 $x$ 轴上的点,它们的表示方式与二维平面、三维空间中点的坐标表示不同. 显然, 在研究函数的分界点时, 我们更加关注自变量的取值.

### 教学建议

本节所创设的问题情境意在体现导数的重要价值, 帮助学生初步感受导数对于刻画运动变化的局部特征的作用. 无论是高铁的情境,还是切线概念的引入,都是为了帮助学生感受导数学习的必要性. 在教学中需要特别关注这一情感态度目标的实现.

极限思想是本节学习的难点, 教学中可以充分借助信息技术工具, 组织学生动手实践, 一方面从数值变化上获得具象的认识, 另一方面从图像变化上获得直观印象.

#### 5.2 导数的运算

### 教学重点

能根据导数定义求函数 $y = C\text{、}y = x\text{、}y = {x}^{2}\text{、}y = {x}^{3}\text{、}y = \frac{1}{x}$ 和 $y = \sqrt{x}$ 的导数. 记住并利用教材中给出的基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数; 能求简单的复合函数 (限于形如 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ ) 的导数.

### 内容分析

本节内容围绕导数的运算展开, 首先基于函数在某点处导数的概念, 引入导函数的概念,然后由导数的极限定义推得 $y = C\text{、}y = {kx} + b\text{、}y = {x}^{2}\text{、}y = {x}^{-1}$ 和 $y = {x}^{\frac{1}{2}}$ 这几个简单函数的导数, 进而不加证明地给出若干基本初等函数的求导公式. 为了便于处理更多初等函数 (由基本初等函数的四则运算以及复合运算得到的函数) 的求导问题,还介绍了导数的四则运算法则和形如 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ 的简单复合函数的求导法则, 并以代数推理的形式对其中积的求导法则以及简单复合函数的求导法则进行了合理性说明.

导数的运算是微积分的基础性知识, 是学生使用微积分解决实际问题的基础. 本节的意图是呈现初等函数求导的一般方法. 由于初等函数是由基本初等函数通过四则运算以及复合运算得到的, 因此一旦知道了常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这六类基本初等函数的求导公式, 再结合导数的四则运算法则以及复合函数求导法则, 就可以完成对所有初等函数的求导. 虽然在高中阶段不要求学生掌握反三角函数的有关内容,且对于复合函数求导也仅限于 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ 的形式, 但是并不妨碍在本节的学习过程中让学生体会解决初等函数求导问题时这种化繁为简的思想.

本节正文与例题部分均以纯数学背景下的求导运算为主, 旨在帮助学生熟练应用求导公式和法则. 同时, 在习题中创设体温变化、潮水涨落、火车加速、气球膨胀、 汽水冷藏等不同的现实情境,一方面帮助学生巩固运算技能,另一方面延续上一节的学习主题, 进一步理解导数的意义, 体会导数的应用价值.

本节分为三个小节.

第 1 小节是基本初等函数的导数.

例 1 是利用导函数的定义求常数函数的导数, 并且从导数的几何意义上帮助学生直观感受”常数函数的导数为零”这一重要结论. 该结论在后续求导计算中将作为公式使用.

例 2 也是从数与形两个方面讨论函数 $y = {kx} + b$ 的导数. 先从几何的角度进行分析得到问题的答案, 再根据定义从代数的角度运算求解, 从而帮助学生再次感受数与形的统一.

例 3 是借助定义对三个简单的幂函数求导. 需要注意的是,在求导公式中包含 $x$ 和 $h$ 两个字母符号,由于最终考虑的是 $h$ 趋近于 0 时的极限,因此在计算 $\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\frac{f\left( {x + h}\right)  - f\left( x\right) }{h}$ 的过程中,可以将 $x$ 看作常量. 在第 (3) 小题中用到了分子有理化的方法,目的是借助平方差公式与分式的性质,将 $\frac{0}{0}$ 型 (分式中分子和分母分别趋近于 0 )的极限问题转化为可以用四则运算求解的极限问题. 由于高中课程不包含系统的极限知识, 因此在教学过程中只要让学生初步了解: 对这类问题在分式的极限无法确定的情况下还需进一步化简, 化简的目的通常是约去分子或分母中趋近于 0 的部分.

本节中给出的 6 个求导公式, 除公式 (1) 和公式 (2) 的一些特殊情况外, 都不要求证明, 感兴趣的师生可以阅读本教学参考资料章末的附录. 对于指数函数和对数函数的求导,本套教材仅把形式最简单的 ${\left( {e}^{x}\right) }^{\prime } = {e}^{x}$ 和 ${\left( \ln x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}$ 列为公式,而对于它们的一般化则作为例题放在导数四则运算的应用和简单复合函数求导法则的应用当中 (见本节例 8 和例 10).

例 4 是对求导公式的直接应用. 希望学生了解像 $y = \frac{1}{{x}^{2}}\text{、}y = \sqrt{x}$ 这样的函数都可以转化为幂函数的形式, 因此可以直接利用公式求导.

例 5 是一个求驻点的问题,也就是求导数为零时 $x$ 的值. 此处三角方程的解有无数个, 因此驻点也有无数个. 边框中的问题旨在帮助学生回顾: 曲线在其驻点处的切线是一条水平直线.

第 2 小节是导数的四则运算.

要求学生记住导数的四则运算法则, 但不要求掌握公式的证明. 教材为积的求导法则提供了形式上的推导, 但在缺少极限与连续相关理论的前提下, 这样的推理也是不够严密的,仅用于反映求导法则的合理性,以及为什么“积的求导”与“和的求导”不同. 在教学中可以通过特殊的例子帮助学生感受在对积求导时,通常 ${\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) }^{\prime }$ 并不等于 ${f}^{\prime }\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right)$ . 例如, ${\left( x \cdot  x\right) }^{\prime } = {\left( {x}^{2}\right) }^{\prime } = {2x}$ ,然而 ${\left( x\right) }^{\prime } \cdot  {\left( x\right) }^{\prime } = 1$ ,两者显然并不相等.

例 6 是利用积的求导公式以及常数函数的求导公式得出推论 ${\left( Cf\left( x\right) \right) }^{\prime } = C{f}^{\prime }\left( x\right)$ , 该结论在后续求导运算中可以作为公式使用.

例 7 是借助求导公式和四则运算法则求导. 要求学生看出初等函数是由哪些基本初等函数通过怎样的运算生成的, 进而正确使用公式. 其中, 第(3)小题是一个复合函数,在此处需要先展开再求导,也可以看作两个 $x - 2$ 的乘积来求导,等后续学习了简单复合函数的导数, 则可以用新的方法求解. 设置这样的问题是为了让学生体会: 只要正确使用求导公式, 不同方法所得的求导结果是一致的, 进而加深对求导公式合理性的认识.

例 8 是利用已有的求导公式和法则推出一般对数函数的求导公式.

第 3 小节是简单复合函数的导数.

教材也为形如 $y = f\left( {{ax} + b}\right)$ 的简单复合函数的求导法则提供了形式上的推导, 以帮助学生理解和接受法则.

例 9 是对简单复合函数求导法则的直接应用.

例 10 是利用已有的求导公式和法则推出一般指数函数的求导公式.

在本节练习和习题中, 有时会鼓励学生通过多种方法求导, 目的是在巩固求导法则运用的同时, 帮助学生感受法则的合理性. 例如, 练习 5.2(3) 的第 2 题, 习题 5.2 的第 7 题和第 10 题.

### 注意事项

本章的重点是帮助学生掌握基本的求导运算, 从而服务于后续学习中导数的应用. 因此, 并不要求学生处理复杂的函数求导问题, 也不要求掌握过多的求导公式. 在本章章末的“内容提要”中列出了需要学生掌握的常用求导公式与法则, 可供教学参照.

对于求导问题来说, 在没有特殊需要的情形下, 通常认为答案的所有等价形式都是正确的.

此外, 本章中导数乘法法则和简单复合函数求导法则的推理过程是建立在初等函数连续、可导推出连续等知识基础上的, 但考虑到学生没有极限与连续的相关知识储备, 因此采取混而不错的方式, 不作特别说明.

按照课程标准要求, 一般地, 在高中阶段研究的与导数有关的问题中, 所涉及的函数都是可导函数. 所以教材中不出现“可导”的概念. 例如, 对于幂函数的求导公式 ${\left( {x}^{\alpha }\right) }^{\prime } = \alpha {x}^{\alpha  - 1}$ 来说,若考虑某一特定的 $\alpha$ 取值,则对于某个具体的 $x$ 而言,只要在所在的某个开区间内该函数有定义, 则该公式适用.

学生在求导过程中可能会误将 ${f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right)$ 写成 ${\left( f\left( {x}_{0}\right) \right) }^{\prime }$ ,如将 ${f}^{\prime }\left( 2\right)$ 写成 ${\left( f\left( 2\right) \right) }^{\prime }$ . 需注意 ${f}^{\prime }\left( 2\right)$ 表示函数 $y = f\left( x\right)$ 的导 (函) 数 (即 ${y}^{\prime } = {f}^{\prime }\left( x\right)$ ) 在 $x = 2$ 时的值; 而 ${\left( f\left( 2\right) \right) }^{\prime }$ 表示常数函数的导 (函) 数,其值为 0 .


### 教学建议

由于缺乏极限运算的相关基础, 本节中的许多结论都是直接告知学生的, 因此在教学中需要尽可能创造机会, 帮助学生从多种角度理解公式和法则的合理性. 例如, 在已经求得一些简单幂函数的导数之后, 可以猜想一般幂函数的求导公式. 又如, 函数 $y = \frac{\sin x}{x}$ 的求导,既可以利用积的求导法则,又可以利用商的求导法则. 比较两种方法的运算过程与结果, 可以帮助学生注意到: 在积的求导公式中, 是两项之和; 而在商的求导公式中, 分子上是两项之差.

本节还设计了两个探究与实践活动. 第 14 页的活动可以帮助学生复习基本初等函数的解析式和图像, 同时巩固基本求导公式; 第 18 页的活动中可以先请学生用已有的方法对复合函数求导, 然后比较复合函数及其内层函数、外层函数的导数, 进而猜想复合函数求导的一般规律, 发展合情推理能力.

#### 5.3 导数的应用

### 教学重点

结合实例, 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系, 能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

借助函数的图像,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值; 体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

### 内容分析

本节内容围绕导数的应用展开. 在上一节掌握基本求导运算的基础上, 首先利用导数的正负来判断函数的单调性, 接着介绍极值点和极值的概念及其判断方法, 然后讨论闭区间上连续函数的最大、最小值, 最后将导数用于二次函数和实际问题的研究.

在初中阶段, 学生对函数单调性的判断依赖于几何直观, 缺少严密的推理; 到了高中课程的必修部分, 学生开始将定义作为判断函数单调性的依据, 但是在此过程中, 有可能碰到较为复杂、难以处理的不等式; 本节中呈现的则是判断函数单调性的一种新方法, 该方法简便易行, 具有普适性.

本节中, 学生需要感悟导数作为研究函数单调性强有力的工具, 为研究函数的几何性质提供了通法, 并通过利用导数解决现实问题的若干实例分析, 理解为什么函数可以成为构建数学模型的有效的数学语言, 从而理解利用导数研究函数的性质不仅是数学本身的需要,更是现实世界的需要,它在解决最优化等实际问题中有着广泛的应用.

为了帮助学生接受未加证明的定理, 本节中的例题和习题既要让学生用导数研究熟悉的函数 (如例 1、例 6、例 7、例 9,练习 5.3(1) 的第 1 题,练习 5.3(2) 的第 1 题, 以及练习 ${5.3}\left( 3\right)$ 的第 2 题),也要让学生用导数研究陌生的函数 (如例 2、例 8、例 10, 练习 5.3(1)的第 2 题,练习 5.3(2)的第 2 题,练习 5.3(3)的第 3 题). 前者是希望通过比较结果的一致性, 帮助学生接受定理; 后者则是希望通过处理陌生的函数, 帮助学生体会定理的应用价值. 类似地, 第 25 页至 27 页中以导数为工具对一般的二次函数、 一元二次方程以及一元二次不等式进行研究, 也是为了让学生在相信定理的同时, 感受导数为研究函数性质所带来的便利.

本节分为五个小节.

第 1 小节直接给出了利用导数判断函数单调性的定理. 由于该定理的证明超出了高中所学,因此教材在边框处建议学生借助信息技术工具,从具体、直观的角度发现和验证这一重要结论. 在一个区间内, “函数在每一点处导数大于零”是局部性质, 而 “函数严格增”是整体性质, 在教学过程中应注意帮助学生感悟局部与整体的关联.

例 1 是对定理的直接应用, 研究对象是熟悉的二次函数. 但是由于缺少极限与连续的相关知识, 因此在求单调区间时不要求学生对区间端点进行考虑, 教材中也全部使用了开区间.

例 2 也是对定理的直接应用, 研究对象是较为陌生的三次函数.

例 3 提供了一个反例, 用以说明“函数严格增并不能推出其导数严格大于 0 ”, 也就是说, 本节所学定理反之是不成立的.

例 4 以及习题 A 组第 4 题第 (2)小题, 指出函数在无定义的点处导数不存在, 这样的点也会成为函数单调区间的分界点.

例 5 和复习题 A 组第 1 题, 则是借助对函数图像的观察, 帮助学生体会导数在描述函数局部特征时的量化作用. 从定性到定量是数学研究的基本思路, 而导数恰恰提供了定量研究函数变化的工具, 它不仅能够帮助确定函数的单调性, 还能反映其变化的陡峭程度.

第 2 小节是利用导数研究函数的极值.

需要注意的是, 对于一般函数而言, 极值点不一定是驻点, 但是在可导的前提下,极值点一定是驻点; 反过来, 函数的驻点不一定是极值点, 教材中给出了反例 $y = {x}^{3}$ ,并以定理形式给出了判断驻点是否为极值点的方法.

例 6 是对定理的直接应用, 研究对象是熟悉的二次函数. 在分析函数单调区间和极值点的过程中使用了列表的方式, 使结果更清晰地呈现出来.

例 7 也是对定理的直接应用, 研究对象是正弦函数. 该函数具有周期性, 虽然它的驻点有无数个, 但是通过对一个周期上的情况进行考虑, 就可以得出问题的完整结论. 该结论在本套教材必修第二册“7.1 正弦函数的图像与性质”中已经出现过, 但是在之前的学习中,结论的获得仅依赖于对函数图像的观察,而此处则得到了论证.

例 8 也是对定理的直接应用,研究对象是较为陌生的三次函数,帮助学生进一步体会导数在研究函数性质方面的强大功能.

第 3 小节是利用导数研究函数的最值.

闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. 对于闭区间上的连续函数而言, 如果最值出现在区间内部, 那么一定是极值, 因此, 只要比较区间端点处的函数值以及极值的大小, 就可以确定最大值和最小值. 一般而言, 区间内部的极值有可能在不可导点取得, 鉴于高中阶段暂不讨论函数可导与否的问题, 教材在函数可导的前提下给出了利用导数求最值的方法.

例 9 和例 10 都是先求出函数的驻点, 再将驻点处的函数值与区间两端点处的函数值进行比较, 进而得到最大值和最小值. 前者的研究对象是熟悉的二次函数, 后者的研究对象则是较为陌生的三次函数. 之所以不需要对驻点是否为极值点进行判断, 一方面是因为极值点包含于驻点当中, 不会在讨论过程中被遗漏, 另一方面, 那些不是极值点的驻点所对应的函数值既不会大于函数的最大值, 也不会小于函数的最小值, 对问题的答案不会产生影响.

第 4 小节“利用导数研究二次函数”是对本节所学内容的应用以及对本套教材必修第一册相关内容的回顾与再认识.

在利用导数研究函数单调性、极值以及最值的习题中, 教科书有时会就相同的函数提出不同的问题, 以便于教师在整个教学中可以协同处理. 例如, 练习 5.3(2) 的第 2 题和练习 5.3(3) 的第 3 题; 又如, 复习题 A 组第 6 题和第 7 题.

第 5 小节是利用导数解决实际问题.

为了反映导数在现实世界中的应用, 本节例题均设置了实际生活情境. 对于含有较多字母符号的问题, 在教学中需要注意帮助学生区分常量和变量, 如例 13.

例 11 中无盖长方体盒子是学生熟悉的情境. 它曾出现在本套教材必修第一册“5.3 函数的应用”之“3 用二分法求函数的零点”这一小节当中, 当时研究这样的三次函数还只能采用描点法作出图像, 进行观察, 而今有了导数这一强大的工具, 通过简单的运算和推理, 就能够了解函数的单调性、极值和最值.

例 12 是一个经济学中的问题, 其中第(1)问复习导数的意义, 第(2)问利用导数求函数的最值.

例 13 讨论木质房梁的抗弯强度. 根据问题的实际意义, 房梁过宽或过窄其抗弯强度都是较小的,因此在梁宽 $b$ 所在的区间 $\left( {0, d}\right)$ 内部,必然存在某一取值所对应的抗弯强度最大. 同时,通过计算发现,抗弯强度 $W$ 关于梁宽 $b$ 的函数在区间内仅有一个驻点, 由此可知, 函数的最大值恰在驻点处取得.

例 14 讨论的是船只航行费用的问题, 需要学生在理解题意的基础上先自行写出函数解析式及其定义域, 再求出最值.

### 注意事项

由于缺少单侧连续等概念, 本节中的单调区间均用开区间表示, 也不要求学生对区间端点的情况进行讨论.

在本节中需要注意帮助学生区分极值和最值的差异: 前者刻画的是函数在某点的邻域内的局部特征, 后者则反映了函数在某个区间内的整体特征. 练习 5.3(3) 的第 1 题和习题 5.3A 组第 3 题都是为此而设计的.

### 教学建议

由于缺少中值定理的相关知识, 高中阶段无法对“利用导数研究函数单调性”的定理进行严格证明. 因此, 在教学中建议借助信息技术工具, 组织学生从数值和图像两个角度出发, 对一些具体的函数进行研究, 探究导数与函数几何性质之间的关系, 从而通过合情推理猜想得到这一命题. 此后, 再借助一些熟悉的函数对结果进行验证, 如例 1 以及练习 5.3(1) 的第 1 题.

在本节教学中可以充分发挥现代信息技术工具在绘制函数图像方面的优势, 对利用导数推得的函数性质进行观察确认, 体会导数作为强有力的工具为一般性地研究函数打开了崭新的世界.

本节末尾还提供了课后阅读材料“微积分简史”. 教师可以创设任务,鼓励学生收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料,包括一些重要历史人物(牛顿、莱布尼茨、柯西、维尔斯特拉斯等) 和事件, 采取独立完成或者小组合作的方式, 完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告.

#### 三、参考答案或提示

##### 5.1 导数的概念及意义

练习 ${5.1}\left( 1\right)$

1. (1) ${30}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (2) ${30}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (3) ${10a}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ .
2. (1)2π. (2)2π.

练习 5.1(2)

1. $y =  - {6x} - 3, y = {6x} - 3$ .

2.(1)正. (2)负.

习题 5.1

A 组

1. (1) ${4.05}\mathrm{\;g}\mathrm{\;m}/\mathrm{s},{4.005}\mathrm{\;g}\mathrm{\;m}/\mathrm{s},{4.0005}\mathrm{\;g}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (2) ${4g}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ .

(3) ${ag}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (4) $\frac{5}{2}\mathrm{\;g}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ .

1. (1) ${90}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ , ${70}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (2) ${80}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (3) ${10}\mathrm{\;s}$ .
2. (1) $3{\mathrm{\;m}}^{3}/\mathrm{s}$ . (2)在 $t = a\left( \mathrm{\;s}\right)$ 附近,流水量大约以 $3{\mathrm{\;m}}^{3}/\mathrm{s}$ 的速度增加.

(3)不变,因为 ${f}^{\prime }\left( a\right)$ 是常数.

1. (1) ${2\pi a} + {\pi h}$ . (2) ${2\pi a}$ .
2. (1) $\frac{3}{4}$ . (2)变大.
3. (1) 4. (2) 2. (3) 0 . (4) -2. (5) -4.

这些斜率的值随着自变量的增大而减小.

7.(1)正. (2)正.

B 组

1.(1)4π弧度/秒. (2) ${12\pi }$ 弧度/秒.

2.(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . (2) 0 .

(3) $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

1. $f\left( 1\right)  = 1,{f}^{\prime }\left( 1\right)  = 4$ .
2. $- \frac{1}{3}$ .

##### 5.2 导数的运算

练习 ${5.2}\left( 1\right)$

1. ${y}^{\prime } = {2x} + 3$ .
2. (1) ${y}^{\prime } = \frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}.\;$ (2) ${y}^{\prime } = \pi {x}^{\pi  - 1}$ .
3. -1 .
4. 提示: 函数在其定义域内导数恒大于零.

练习 ${5.2}\left( 2\right)$

(1) ${y}^{\prime } = 3{\mathrm{e}}^{x} - \mathrm{e}{x}^{\mathrm{e} - 1}$ . (2) ${y}^{\prime } =  - \sin x + \frac{2}{{x}^{2}}$ . (3) ${y}^{\prime } = {24}{x}^{2} + {24x} + 6$ .

(4) ${y}^{\prime } = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos x$ . (5) ${y}^{\prime } = \ln x + 1 + \frac{2}{{x}^{3}}$ . (6) ${y}^{\prime } = 1 + \frac{1}{{x}^{2}}$ .

(7) ${y}^{\prime } = \frac{4x}{{\left( {x}^{2} + 1\right) }^{2}}$ . (8) ${y}^{\prime } = {\sec }^{2}x$ .

练习 5.2(3)

1. (1) ${y}^{\prime } = {8x} - {12}$ . (2) ${y}^{\prime } = 2\cos {2x}$ .
2. ${f}^{\prime }\left( x\right)  =  - \frac{2}{{\left( 2x - 1\right) }^{2}}$ . 提示: 既可以用商的求导公式,也可以看作复合函数求导.
3. $y =  - {6x}\ln 2 + 2$ .
4. (1) ${y}^{\prime } = 3\sqrt{2 - x} - \frac{3x}{2\sqrt{2 - x}}$ . (2) ${y}^{\prime } = \frac{2}{x\left( {{2x} + 1}\right) } - \frac{\ln \left( {{2x} + 1}\right) }{{x}^{2}}$ .

习题 5.2

A 组

1. (1) ${y}^{\prime } = 0$ . (2) ${y}^{\prime } = \frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}}$ . (3) ${y}^{\prime } =  - \frac{3}{{x}^{4}}$ .
2. $y =  - x + \frac{\pi }{2}$ .
3. (1) $\left( {{\left( \frac{a}{3}\right) }^{\frac{1}{2}},{\left( \frac{a}{3}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right)$ 或 $\left( {-{\left( \frac{a}{3}\right) }^{\frac{1}{2}}, - {\left( \frac{a}{3}\right) }^{\frac{3}{2}}}\right)$ . (2)正.
4. $y = 7,\left( {-1,7}\right)$ ; 或 $y = 3,\left( {1,3}\right)$ .
5. $y =  - x - 2,\left( {-1, - 1}\right)$ ; 或 $y =  - x + 2,\left( {1,1}\right)$ .
6. (1) ${y}^{\prime } = 2\mathrm{e}{x}^{\mathrm{e} - 1}$ . (2) ${y}^{\prime } = {\mathrm{e}}^{x}\cos x - {\mathrm{e}}^{x}\sin x$ . (3) ${y}^{\prime } =  - \frac{1}{{\left( x - 2\right) }^{2}}$ .

(4) ${y}^{\prime } = \frac{1}{x\sin x} - \frac{\ln x\cos x}{{\sin }^{2}x}$ .

1. ${y}^{\prime } =  - {8x} + {11}$ . 提示:可以先用积的求导公式,也可以先把函数表达式展开.
2. (1) $h\left( 1\right)  = \frac{22}{3},{h}^{\prime }\left( 1\right)  = 9$ . (2) $h\left( 1\right)  = \frac{47}{3},{h}^{\prime }\left( 1\right)  = {44}.$ (3) $h\left( 1\right)  = \frac{7}{6}$ , ${h}^{\prime }\left( 1\right)  =  - \frac{1}{12}$
3. (1) ${y}^{\prime } = \frac{1}{\sqrt{{2x} - 5}}$ . (2) ${y}^{\prime } =  - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}.$ (3) ${y}^{\prime } =  - \frac{1}{{\mathrm{e}}^{x + 1}}$ .
4. ${y}^{\prime } =  - \frac{2}{{\left( x - 1\right) }^{2}}$ . 提示: 既可以用商的求导公式,也可以看作复合函数求导.
5. (1) $- {1.2}^{ \circ  }\mathrm{C}/\mathrm{{min}}$ . (2) ${2.7}\mathrm{\;{min}}$ .
6. $- \frac{\pi }{8}\mathrm{\;m}/\mathrm{h},\frac{\pi }{8}\mathrm{\;m}/\mathrm{h}$ .

### B 组

1. (1) $\left( {{0.4} + {1.2t}}\right) \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}$ . (2) 3s.

2.(1)不是,因为导数恒大于零. (2)是, $b =  \pm  2$ .

1. (1) $r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$ . (2) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }}$ .
2. (1)不正确,第二个减号应改为加号. (2)不正确,应在结果前加负号.
3. $y =  \pm  2\sqrt{2}x - 1$ . 提示: 可先设切点为 $\left( {a,2{a}^{2}}\right)$ .

6.(1)一32 ${\mathrm{e}}^{-2}$ ,汽水放入冰箱后 1 小时左右,温度大约以 ${{32}{\mathrm{e}}^{-2}}$ ℃/h的速度降低. (2) ${y}^{\prime } =  - \frac{288}{5}{\mathrm{e}}^{-{2t}}$ ,汽水放入冰箱后 $t$ 小时左右,温度大约以 $\frac{288}{5}{\mathrm{e}}^{-{2t}}\mathrm{F}/\mathrm{h}$ 的速度降低.

1. (1) ${y}^{\prime } = {2x}\sin {3x} + 3{x}^{2}\cos {3x} + {x}^{-\frac{3}{2}}$ . (2) ${y}^{\prime } = \frac{4}{{\left( {\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{-x}\right) }^{2}}$ .

#### 5.3 导数的应用

### 练习 ${5.3}\left( 1\right)$

1. (1)单调增区间为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ . (2)单调增区间为 $\left( {0, + \infty }\right)$ . (3)当 $a > 0$ 时,单调减区间为 $\left( {-\infty , - \frac{b}{2a}}\right)$ ,单调增区间为 $\left( {-\frac{b}{2a}, + \infty }\right)$ ; 当 $a < 0$ 时,单调增区间为 $\left( {-\infty , - \frac{b}{2a}}\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-\frac{b}{2a}, + \infty }\right)$ .
2. (1)单调减区间为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ ,单调增区间为 $\left( {-1, + \infty }\right)$ . 间为 $\left( {-\infty ,\frac{1}{2}}\right)$ 及 $\left( {1, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {\frac{1}{2},1}\right)$ .

练习 ${5.3}\left( 2\right)$

1. 单调减区间为 $\left( {{2k\pi },{2k\pi } + \pi }\right)$ ,单调增区间为 $\left( {{2k\pi } + \pi ,{2k\pi } + {2\pi }}\right)$ ,其中 $k \in  \mathbf{Z}$ ； 在 $x = {2k\pi }\left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ 处取得极大值 1,在 $x = {2k\pi } + \pi \left( {k \in  \mathbf{Z}}\right)$ 处取得极小值 -1 .
2. 单调增区间为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ 及 $\left( {1, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-1,1}\right)$ ; 在 $x =  - 1$ 处取得极大值 2,在 $x = 1$ 处取得极小值 -2 .

练习 ${5.3}\left( 3\right)$

1. 由最大值的定义可知, (2) 正确; (1) (3) (4)不正确, 理由略. 提示: 可借助函数图像举反例.
2. $\left\lbrack  {-4,0}\right\rbrack$ .
3. 最大值是 2 , 最小值是 0 .

练习 5.3(4)

1.
2. $\frac{\sqrt{3}}{3}R$ .

习题 5.3

A 组

1. (1)单调减区间为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ . (2)单调减区间为 $\left( {0, + \infty }\right)$ .
2. 单调减区间为 $\left( {-\frac{\pi }{2},0}\right)$ ,单调增区间为 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ ,在 $x = 0$ 处取得极小值 1 .
3. 在 $b$ 处取得最大值,不是极大值点; 在 ${x}_{4}$ 处取得最小值,是极小值点.

4.(1)单调减区间为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ ,单调增区间为 $\left( {-1, + \infty }\right)$ ,在极小值点 $x =  - 1$ 处取得极小值 2 .


(2)单调增区间为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ 及 $\left( {1, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-1,0}\right)$ 及 $\left( {0,1}\right)$ ,在极大值点 $x =  - 1$ 处取得极大值 -2,在极小值点 $x = 1$ 处取得极小值 2 .

(3)单调减区间为 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ 及 $\left( {1, + \infty }\right)$ ,单调增区间为 $\left( {-1,1}\right)$ ,在极小值点 $x =  - 1$ 处取得极小值-2,在极大值点 $x = 1$ 处取得极大值 2 .

(4)单调增区间为 $\left( {-\infty , - 2}\right)$ 及 $\left( {0, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-2,0}\right)$ ,在极大值点 $x =  - 2$ 处取得极大值 $\frac{4}{{\mathrm{e}}^{2}}$ ,在极小值点 $x = 0$ 处取得极小值 0 .

1. 提示: 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上导数恒大于零.
2. 单调减区间为 $\left( {-\infty , - 2}\right)$ 及 $\left( {2, + \infty }\right)$ .
3. 提示: 函数在其定义域内导数恒大于零.
4. $\left\lbrack  {-1,{15}}\right\rbrack$ .

B 组

1. (1) $n = 1$ 时,无驻点,无极值点； $n$ 是大于 1 的正奇数时, $x = 0$ 是驻点,无极值点.

(2) $n$ 是正偶数, $x = 0$ 是驻点,也是极小值点.

1. -7 .
2. 当长为 $2\mathrm{\;m}$ 、宽为 $1\mathrm{\;m}$ 、高为 $\frac{3}{2}\mathrm{\;m}$ 时,体积最大,最大体积是 $3{\mathrm{\;m}}^{3}$ .
3. 9 元.

### 复习题

A 组

1. ③⑤②④⑥①.
2. (1) $y = \frac{1}{4}x + 1$ . (2) $\left( {-2,\frac{1}{2}}\right)$ .
3. (1) ${12}\mathrm{\;m}$ . (2) ${10}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (3) $5\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . (4) $\frac{3}{2}\mathrm{\;s},\frac{93}{4}\mathrm{\;m}$ .
4. (1) 3-5e. (2) e.

(3) $\frac{1}{\mathrm{e}}$ . (4) $\frac{2}{3} + 3{\mathrm{e}}^{2}$ .

1. (1) ${y}^{\prime } =  - \cos x$ . (2) ${y}^{\prime } = \frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}} + 3{x}^{-4}$ . (3) ${y}^{\prime } =  - {4x} + \frac{43}{2}$ . (4) ${y}^{\prime } =  - \frac{\sin x}{{x}^{2}} - \frac{2\cos x}{{x}^{3}}$ .
2. ( 1 )单调增区间为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,无极值点.

( 2 )单调增区间为 $\left( {-\infty ,\frac{1}{2}}\right)$ ,单调减区间为 $\left( {\frac{1}{2}, + \infty }\right)$ , $x = \frac{1}{2}$ 是极大值点.

(3)单调增区间为 $\left( {-\infty , - 2}\right)$ 及 $\left( {\frac{4}{3}, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-2,\frac{4}{3}}\right) , x =  - 2$ 是极大值点, $x = \frac{4}{3}$ 是极小值点.

1. (1)最大值是 1 ,最小值是 0 .

(2)最大值是 19 ,最小值是 0

(3)最大值是 19 ,最小值是 $\frac{13}{27}$ .

### B 组

1. 单调增区间为 $\left( {-2,0}\right)$ ,单调减区间为 $\left( {0,2}\right) , x = 0$ 是极大值点.
2. 1 或 $\frac{13}{4}$ . 提示: 可以设切点为 $\left( {{x}_{0},{x}_{0}}\right)$ ,一方面切点满足曲线方程,另一方面曲线在该点处导数为 1,解方程组可得 ${x}_{0}$ 与 $a$ 的值.
3. 函数表达式为 $y = {x}^{3} - 3{x}^{2}$ ,单调减区间为 $\left( {0,2}\right)$ .
4. ${80}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ .
5. $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}, h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi }}$ .
6. 25 件.

### 拓展与思考

1. 当 $a \geq  0$ 时,单调增区间为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ; 当 $a < 0$ 时,单调增区间为 $( - \infty$ , $\left. {-\sqrt{\frac{-a}{3}}}\right)$ 及 $\left( {\sqrt{\frac{-a}{3}}, + \infty }\right)$ ,单调减区间为 $\left( {-\sqrt{\frac{-a}{3}},\sqrt{\frac{-a}{3}}}\right)$ .
2. ( 1 )当 $a \geq  0$ 时:方程有唯一实根. ( 2 )当 $a < 0$ 时:若 $b > \frac{2\sqrt{3}}{9}{\left( \sqrt{-a}\right) }^{3}$ 或 $b <  - \frac{2\sqrt{3}}{9}{\left( \sqrt{-a}\right) }^{3}$ ,则方程有唯一实根; 若 $b =  \pm  \frac{2\sqrt{3}}{9}{\left( \sqrt{-a}\right) }^{3}$ ,则方程恰有两个实根; 若 $- \frac{2\sqrt{3}}{9}{\left( \sqrt{-a}\right) }^{3} < b < \frac{2\sqrt{3}}{9}{\left( \sqrt{-a}\right) }^{3}$ ,则方程恰有三个实根. 提示: 当 $a < 0$ 时, 考虑 $x =  - \sqrt{\frac{-a}{3}}$ 及 $x = \sqrt{\frac{-a}{3}}$ 时函数值的正负.

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析 (上册) 第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2001.

[2]齐民友. 遥望星空 (二)一牛顿、微积分、万有引力定律的发现[M]. 北京:高等教育出版社,2008: 18-60.

[3]卡尔 $\cdot$ B. 波耶. 微积分概念发展史[M]. 唐生,译. 上海: 复旦大学出版社, 2007.

### 附录

以下给出教材中常用求导公式的证明过程, 其中会涉及函数极限运算法则、反函数求导、一般复合函数求导等相关知识, 根据课程标准要求, 它们不在常规教学内容之内, 可供教师参考, 或作为学有余力者的课外拓展资料. 以下公式出现的顺序与教材有所不同, 是考虑了证明的逻辑顺序.

① ${\left( C\right) }^{\prime } = 0, C$ 为常数.

证明详见教材 5.2 节例 1.

② ${\left( \sin x\right) }^{\prime } = \cos x$ .

证明: 当 $h \neq  0$ 时,

$\frac{f\left( {x + h}\right)  - f\left( x\right) }{h} = \frac{\sin \left( {x + h}\right)  - \sin x}{h} = \frac{2\cos \left( {x + \frac{h}{2}}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} = \cos \left( {x + \frac{h}{2}}\right)  \cdot  \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}},$

从而,当 $h$ 趋近于 0 时, ${f}^{\prime }\left( x\right)  = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\cos \left( {x + \frac{h}{2}}\right)  \cdot  \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = \cos x$ .

(此处用到了三角函数中的和差化积公式: $\sin \alpha  - \sin \beta  = 2\cos \frac{\alpha  + \beta }{2}\sin \frac{\alpha  - \beta }{2}$ ,函数极限运算的乘法法则,以及重要极限 $\left. {\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{\sin x}{x} = 1\text{.}}\right)$

③ ${\left( \cos x\right) }^{\prime } =  - \sin x$ .

证明: 当 $h \neq  0$ 时,

$$
\frac{f\left( {x + h}\right)  - f\left( x\right) }{h} = \frac{\cos \left( {x + h}\right)  - \cos x}{h} = \frac{-2\sin \left( {x + \frac{h}{2}}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} =  - \sin \left( {x + \frac{h}{2}}\right)  \cdot  \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}},
$$

从而,当 $h$ 趋近于 0 时, ${f}^{\prime }\left( x\right)  =  - \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\sin \left( {x + \frac{h}{2}}\right)  \cdot  \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} =  - \sin x$ .

(此处用到了三角函数中的和差化积公式: $\cos \alpha  - \cos \beta  =  - 2\sin \frac{\alpha  + \beta }{2}\sin \frac{\alpha  - \beta }{2}$ ,函数极限运算的乘法法则,以及重要极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}\frac{\sin x}{x} = 1$ .)

④ ${\left( \ln x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}$ .

证明: 当 $h \neq  0$ 时,

$$
\frac{f\left( {x + h}\right)  - f\left( x\right) }{h} = \frac{\ln \left( {x + h}\right)  - \ln x}{h} = \frac{\ln \left( {1 + \frac{h}{x}}\right) }{h} = \frac{1}{x}\ln {\left( 1 + \frac{h}{x}\right) }^{\frac{x}{h}},
$$

从而,当 $h$ 趋近于 0 时, ${f}^{\prime }\left( x\right)  = \frac{1}{x}\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow  0}}\ln {\left( 1 + \frac{h}{x}\right) }^{\frac{x}{h}} = \frac{1}{x}$ .

(此处用到了函数极限运算的乘法法则以及重要极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow  0}}{\left( 1 + x\right) }^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e}$ .)

⑤ ${\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{x}$ .

证明: 设 $y = {\mathrm{e}}^{x}$ ,则 $x = \ln y$ . 利用反函数求导公式,得

$$
{\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime } = \frac{1}{{\left( \ln y\right) }^{\prime }} = y = {\mathrm{e}}^{x}.
$$

(此处用到了反函数求导公式: ${f}^{\prime }\left( x\right)  = \frac{1}{{g}^{\prime }\left( y\right) }$ ,其中 $x = g\left( y\right)$ 是函数 $y = f\left( x\right)$ 的反函数.)

⑥ ${\left( {x}^{\alpha }\right) }^{\prime } = \alpha {x}^{\alpha  - 1},\alpha$ 为常数.

证明: 因为 ${x}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \ln x}$ ,利用复合函数求导公式,得

$$
{\left( {x}^{\alpha }\right) }^{\prime } = {\left( {\mathrm{e}}^{\alpha \ln x}\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{\alpha \ln x}{\left( \alpha \ln x\right) }^{\prime } = {x}^{\alpha }\alpha {\left( \ln x\right) }^{\prime } = \alpha {x}^{\alpha }\frac{1}{x} = \alpha {x}^{\alpha  - 1}.
$$

(此处用到了复合函数求导公式: ${\left( f\left( g\left( x\right) \right) \right) }^{\prime } = {f}^{\prime }\left( {g\left( x\right) }\right) {g}^{\prime }\left( x\right)$ ,以及常用求导公式 ${\left( {\mathrm{e}}^{x}\right) }^{\prime } = {\mathrm{e}}^{x},{\left( \ln x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}$ .